Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 84

Gọi số trâu đứng, trâu nằm, trâu già lần lượt là $x,y,z$ (x, y, z là số nguyên dương).
Theo đề bài ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=100 \\ 5x+3y+\frac{1}{3}z=100 \end{array} \right. (*).$
$(*)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x+y=100-z \\ 15x+9y=300-z \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{-300+4z}{3} \\ y=\frac{600-7z}{3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{4z}{3}-100 \\ y=200-\frac{7z}{3}. \end{array} \right.$
Vì $x>0$ nên $\frac{4z}{3}-100>0\Rightarrow z>75$,
$y>0$ nên $200-\frac{7z}{3}>0\Rightarrow z<85$.
Mà z là số nguyên dương nên $z\in \{76;77;\ldots;84\}$.
Lại có $x$ là số nguyên nên $\frac{4z}{3}-100$ là số nguyên, suy ra z:3 $\Rightarrow z\in \{78;81;84\}$.
+) Với $z=78$ thì $x=4,y=18$.
+) Với $z=81$ thì $x=8,y=11$.
+) Với $z=84$ thì $x=12,y=4$.
Vậy số trâu đứng, trâu nằm, trâu già theo thứ tự có thể là một trong ba bộ số $(4;18;78),(8;11;81),(12;4;84)$.