Bài tự luận · Bài 75
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 75
Tìm phương trình của parabol $(P):y=ax^2+bx+c$ $(a\neq 0)$, biết:
a) Parabol $(P)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x=-2;x=1$ và đi qua điểm $M(-1;3)$;
b) Parabol $(P)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ $y=-2$ và hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $-4$ tại $x=2$.
a) Parabol $(P)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x=-2;x=1$ và đi qua điểm $M(-1;3)$;
b) Parabol $(P)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ $y=-2$ và hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $-4$ tại $x=2$.
Xem lời giải
Lời giải
a) $(P)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x=-2;x=1$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0=a(-2)^2+b(-2)+c \\ 0=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4a-2b+c=0 \\ a+b+c=0 \end{array} \right.$
$(P)$ đi qua điểm $M(-1;3)\Rightarrow 3=a(-1)^2+b(-1)+c\Rightarrow a-b+c=3$ (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} 4a-2b+c=0 \\ a+b+c=0 \\ a-b+c=3 \end{array} \right.$
Giải hệ này ta được $a=-\frac{3}{2}, b=-\frac{3}{2},c=3$.
Vậy phương trình của $(P)$ là $y=-\frac{3}{2}x^2-\frac{3}{2}x+3$.
b) $(P)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ $y=-2\Rightarrow -2=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$ hay $c=-2$ (1).
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $-4$ tại $x=2$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} -\frac{b}{2a}=2 \\ -4=a\cdot 2^2+b\cdot 2+c \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4a+b=0 \ (2) \\ 4a+2b+c=-4 \ (3) \end{array} \right.$
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} c=-2 \\ 4a+b=0 \\ 4a+2b+c=-4 \end{array} \right.$
Giải hệ này ta được $a=\frac{1}{2},b=-2,c=-2$.
Vậy phương trình của $(P)$ là $y=\frac{1}{2}x^2-2x-2$.
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0=a(-2)^2+b(-2)+c \\ 0=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4a-2b+c=0 \\ a+b+c=0 \end{array} \right.$
$(P)$ đi qua điểm $M(-1;3)\Rightarrow 3=a(-1)^2+b(-1)+c\Rightarrow a-b+c=3$ (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} 4a-2b+c=0 \\ a+b+c=0 \\ a-b+c=3 \end{array} \right.$
Giải hệ này ta được $a=-\frac{3}{2}, b=-\frac{3}{2},c=3$.
Vậy phương trình của $(P)$ là $y=-\frac{3}{2}x^2-\frac{3}{2}x+3$.
b) $(P)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ $y=-2\Rightarrow -2=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c$ hay $c=-2$ (1).
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $-4$ tại $x=2$
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} -\frac{b}{2a}=2 \\ -4=a\cdot 2^2+b\cdot 2+c \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4a+b=0 \ (2) \\ 4a+2b+c=-4 \ (3) \end{array} \right.$
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} c=-2 \\ 4a+b=0 \\ 4a+2b+c=-4 \end{array} \right.$
Giải hệ này ta được $a=\frac{1}{2},b=-2,c=-2$.
Vậy phương trình của $(P)$ là $y=\frac{1}{2}x^2-2x-2$.