Cho hàm số $ y=x ^ { 3 } -x ^ { 2 } +2x+5 $ có đồ thị $ (C) $. Trong các tiếp tuyến của $ (C) $, thì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất tiếp xúc với $ (C) $tại điểm $ M\left ( { x_{ 0 } ;y_{ 0 } } \right ) $. Tính giá trị biểu thức $ P=9x_{ 0 } ^{ 2 }+27y_{ 0 } $?

Ta có tiếp tuyến của $ \left ( { C } \right ) $tại $ M $có hệ số góc $ k $là $ k=y'\left ( { x_{ 0 } } \right )=3x_{ 0 } ^{ 2 }-2x_{ 0 } +2=3\left ( { x_{ 0 } ^{ 2 }-\frac { 2 } { 3 }x_{ 0 } +\frac { 1 } { 9 } } \right )+\frac { 5 } { 3 }=3\left ( { x_{ 0 } -\frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } +\frac { 5 } { 3 }≥\frac { 5 } { 3 } Do đó ta có $ mink=\frac { 5 } { 3 } $ đạt được khi $ x_{ 0 } $ =\frac { 1 } { 3 }⇒y_{ 0 } =\frac { 151 } { 27 } $ . Vậy $ P=9.\left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } +27.\frac { 151 } { 27 }=152 $.