Cho hàm số $ y=-x ^ { 3 } +3x ^ { 2 } +9x-1 $ có đồ thị là $ (C) $. Hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến tại một điểm $ M $ trên đồ thị $ (C) $ bằng bao nhiêu?

Gọi điểm $ M\left ( { x_{ 0 } ;y_{ 0 } } \right )∈(C) $ và $ y ^ { ′ } =-3x ^ { 2 } +6x+9 $. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị $ (C) $ tại điểm $ M $ là $ y ^ { ′ } \left ( { x_{ o } } \right )=-3x_{ o } ^{ 2 }+6x_{ o } +9 $. Ta thấy, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $ M $ là một hàm số có đồ thị là một parabol, có đỉnh $ S\left ( { -\frac { b } { 2a };-\frac { Δ } { 4a } } \right )⇒S(1;12) $ và hệ số $ a=-3 < 0 $ nên hàm số có giá trị lớn nhất bằng 12 tại $ x_{ o } =1 $. Vậy hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến là $ y ^ { ′ } (1)=12 $