Một cây cầu vượt giao thông được xây có dạng hình parabol nối hai điểm A và B có khoảng cách là $ 400m $. Độ dốc tại một điểm bất kì được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với mặt cầu và phương nằm ngang, độ dốc của mặt cầu không vượt quá $ 10 ^ { o } $. Giả sử chọn hệ trục $ Oxy $ (như hình vẽ).

Question

Beedemy · Accepted Answer

a. Đỉnh cầu có toạ độ là $ (0;0) $. Sai. b. Hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm trên cầu là độ dốc tại điểm đó. Sai. c. Nếu gọi $ h(h>0) $ là chiều cao giới hạn của cầu thì phương trình parabol của cầu là: $ y=-\frac { h } { 200 ^ { 2 } }x ^ { 2 } +h $. Đúng. d. Chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường xấp xỉ $ 17,6m $. Đúng. Lời giải: a) Sai vì $ (0;0) $ là toạ độ của gốc toạ độ $ O $. b) Sai vì hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm bằng tan của góc tạo bởi tiếp tuyến và trục $ Ox $ hay là tan của độ dốc tại điểm đó, không phải độ dốc. c) Đúng. Phương trình parabol của cầu là $ y=ax ^ { 2 } +bx+c,a≠0 $. Các điểm $ A\left ( { -200;0 } ight ),B\left ( { 200;0 } ight ),C\left ( { 0;h } ight ) $ thuộc vào parabol và $ C\left ( { 0;h } ight ) $ là đỉnh của parabol nên ta giải được $ a=\frac { -h } { 200 ^ { 2 } },b=0,c=h $ Khi đó, phương trình parabol của cầu là: $ y=-\frac { h } { 200 ^ { 2 } }x ^ { 2 } +h $. d) Đúng. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $ x $ xác định là: $ k=y ^ { ′ } =-\frac { 2h } { 200 ^ { 2 } }x,-200≤x≤200. $ Do đó: $ |k|=\frac { 2h } { 200 ^ { 2 } }|x|≤\frac { 2h } { 200 ^ { 2 } }⋅200=\frac { h } { 100 } $. Vì độ dốc của cầu không quá $ 10 ^ { o } $ nên ta có: $ \frac { h } { 100 }≤	an10 ^ { o } ⇔h≤100	an10 ^ { o } ≈17,6. $ Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu tới mặt đường là 17,6 m.

Cùng dạng: Ý nghĩa hình học: đạo hàm là hệ số góc của tiếp tuyến