Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $, cho điểm $ A\left ( { 2;1 } \right ) $, lấy điểm $ B $ thuộc trục $ Ox $ có hoành độ $ x≥0 $ và điểm $ C $ thuộc $ Oy $ có tung độ $ y≥0 $ sao cho $ ΔABC $ vuông tại $ A. $ Diện tích $ ΔABC $ nhỏ nhất bằng bao nhiêu $ ? $

Ta có $ A\left ( { 2;1 } \right ), $ $ B\left ( { b;0 } \right ), $ $ C\left ( { 0;c } \right ) với b,\,\,c≥0. $ Suy ra: $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { b-2;-1 } \right ) $; $ \overset\rightarrow { AC }=\left ( { -2;c-1 } \right ). $ $ \centerdot \,\,ΔABC $ vuông tại $ A ⇔ \overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { AC }=0 ⇔-2\left ( { b-2 } \right )-\left ( { c-1 } \right )=0 $ $ ⇔c-1=-2\left ( { b-2 } \right )⇒c=-2b+5≥0→0≤b≤\frac { 5 } { 2 }. $ Lại có: $ S_{ ABC } =\frac { 1 } { 2 }.AB.AC=\frac { 1 } { 2 }.\sqrt[] { \left ( { b-2 } \right ) ^ { 2 } +1 }.\sqrt[] { 4+\left ( { c-1 } \right ) ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 2 }.\sqrt[] { \left ( { b-2 } \right ) ^ { 2 } +1 }.\sqrt[] { 4+\left ( { -2b+5-1 } \right ) ^ { 2 } } $ $ =\frac { 1 } { 2 }.\sqrt[] { \left ( { b-2 } \right ) ^ { 2 } +1 }.\sqrt[] { 4+4\left ( { b-2 } \right ) ^ { 2 } }=\left ( { b-2 } \right ) ^ { 2 } +1≥1. $ Dấu $ ''='' $ xảy ra khi: $ b-2=0⇔b=2 $(TMĐK) $ ⇒c=1 $ Vậy diện tích $ ΔABC $ nhỏ nhất bằng 1 tại $ B\left ( { 2;0 } \right ),C\left ( { 0;1 } \right ). $