Một lớp học trải nghiệm cho học sinh tô màu một tờ giấy hình vuông có cạnh bằng $ 1m $ theo hướng dẫn: lần thứ nhất, chia tờ giấy thành 3x3 ô vuông bằng nhau rồi tô màu ô ở giữa. Tiếp tục, mỗi ô vuông nhỏ còn lại cũng chia đều thành 3x3 ô vuông rồi tô màu ô ở giữa. Gọi $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ là dãy các tổng diện tích còn lại sau khi tô màu các ô vuông ở giữa lần thứ $ n $. Tính $ u_{ 10 } $ theo đơn vị mét vuông và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm?

Lần thứ nhất, bỏ đi 1 ô vuông có cạnh bằng $ \frac { 1 } { 3 } $ nên diện tích còn lại là $ u_{ 1 } =1-\left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 8 } { 9 } $ Lần thứ hai, bỏ đi 8 ô vuông có cạnh bằng $ \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } $, diện tích còn lại là $ u_{ 2 } =1-\left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } -8.\left ( { \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } } \right ) ^ { 2 } =1-\left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } -\left ( { 9-1 } \right )\left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 4 } =1-\frac { 1 } { 3 ^ { 2 } }-9.\frac { 1 } { 3 ^ { 4 } }+\frac { 1 } { 3 ^ { 4 } }=1-\frac { 1 } { 3 ^ { 2 } }-3 ^ { 2 } .\frac { 1 } { 3 ^ { 2 } }+\frac { 1 } { 3 ^ { 4 } }=1-2.\left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } } \right ) ^ { 2 } =\left ( { 1-\left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } } \right ) ^ { 2 } =\left ( { \frac { 8 } { 9 } } \right ) ^ { 2 } $ Lần thứ ba, bỏ đi 64 ô vuông có cạnh bằng $ \frac { 1 } { 3 ^ { 4 } } $, diện tích còn lại là $ u_{ 3 } =1-\left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } -8.\left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 4 } -64.\left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 8 } =\left ( { 1-\left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } } \right ) ^ { 3 } $ Vậy ta có nhận xét $ \left ( { u_{ n } } \right ) $ là cấp số nhân với công bội $ q=1-\left ( { \frac { 1 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 8 } { 9 } $ $ u_{ 10 } =\frac { 8 } { 9 }.\left ( { \frac { 8 } { 9 } } \right ) ^ { 10-1 } =\left ( { \frac { 8 } { 9 } } \right ) ^ { 10 } ≈0,31\,\left ( { m ^ { 2 } } \right ) $