Đúng/Sai · Câu 12
Cho cấp số nhân $\left(u_{n}\right)$ có công bội là một số nguyên, thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l} u_{2} + u_{5} = 84 \\ u_{3} + u_{4} = 36 \end{array} \right.$. Các khẳng định sau đúng hay sai?
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Đúng
- c. Đúng
- d. Sai
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Đúng
d) Sai
Lời giải
Ta có hệ phương trình:
$$
\left\{ \begin{array}{l} u_{1}q + u_{1}q^{4} = 84 \\ u_{1}q^{2} + u_{1}q^{3} = 36 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_{1}q(1 + q^{3}) = 84 \\ u_{1}q^{2}(1 + q) = 36 \end{array} \right.
$$
Chia hai phương trình:
$$
\frac{u_{1}q(1+q)(1-q+q^{2})}{u_{1}q^{2}(1+q)} = \frac{84}{36} \Leftrightarrow \frac{1-q+q^{2}}{q} = \frac{7}{3}
$$
$$
3 - 3q + 3q^{2} = 7q \Leftrightarrow 3q^{2} - 10q + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} q = 3 \\ q = \frac{1}{3} \end{array} \right.
$$
Vì $q$ nguyên nên $q = 3$. Thay vào phương trình đầu: $u_{1} \cdot 3(1 + 27) = 84 \Rightarrow u_{1} \cdot 84 = 84 \Rightarrow u_{1} = 1$.
Vậy $u_{n} = 1 \cdot 3^{n-1} = 3^{n-1}$.
a) Đúng.
b) Đúng ($u_{2024} = 3^{2023}$).
c) Đúng.
d) $S_{10} = \frac{1(3^{10} - 1)}{3 - 1} = \frac{59049 - 1}{2} = 29524 \neq 29254$. (Sai)