Bài tự luận · Bài 91
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 91
Giải bài toán dân gian sau:
Em đi chợ phiên
Anh gửi một tiền
Cam, thanh yên, quýt
Không nhiều thì ít
Mua đủ một trăm
Cam ba đồng một
Quýt một đồng năm
Thanh yên tươi tốt
Năm đồng một trái.
Hỏi mỗi thứ mua bao nhiêu trái, biết một tiền bằng 60 đồng?
Em đi chợ phiên
Anh gửi một tiền
Cam, thanh yên, quýt
Không nhiều thì ít
Mua đủ một trăm
Cam ba đồng một
Quýt một đồng năm
Thanh yên tươi tốt
Năm đồng một trái.
Hỏi mỗi thứ mua bao nhiêu trái, biết một tiền bằng 60 đồng?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi số cam, quýt, thanh yên đã mua lần lượt là $x,y,z$ (quả) $(x,y,z\in \mathbb{N}^{*})$.
Theo đề bài, ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} 3x+\frac{y}{5}+5z=60 \\ x+y+z=100 \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l} 3x+\frac{y}{5}+5z=60 \\ x+y+z=100 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 15x+y+25z=300 \\ x+y+z=100 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 15x+y+25z=300 \\ -14y+10z=-1200 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 15x+y+25z=300 \\ -7y+5z=-600 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 15x+\frac{5z+600}{7}+25z=300 \\ y=\frac{5z+600}{7} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{100-12z}{7} \\ y=\frac{5z+600}{7} \end{array} \right. (*)$
Vì $x>0$ nên $100-12z>0\Rightarrow z<\frac{100}{12}<9\Rightarrow z\in \{1;2;\ldots;8\}$.
Thay lần lượt các giá trị này của z vào phương trình thứ hai của $(*)$ ta thấy chỉ có $z=6$ thoả mãn (vì $y\in \mathbb{N}^{*}$). Vậy $z=6$, suy ra $y=90,x=4$.
Vậy số cam, quýt, thanh yên đã mua lần lượt là 4,90 và 6 quả.
Theo đề bài, ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} 3x+\frac{y}{5}+5z=60 \\ x+y+z=100 \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l} 3x+\frac{y}{5}+5z=60 \\ x+y+z=100 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 15x+y+25z=300 \\ x+y+z=100 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 15x+y+25z=300 \\ -14y+10z=-1200 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 15x+y+25z=300 \\ -7y+5z=-600 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 15x+\frac{5z+600}{7}+25z=300 \\ y=\frac{5z+600}{7} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{100-12z}{7} \\ y=\frac{5z+600}{7} \end{array} \right. (*)$
Vì $x>0$ nên $100-12z>0\Rightarrow z<\frac{100}{12}<9\Rightarrow z\in \{1;2;\ldots;8\}$.
Thay lần lượt các giá trị này của z vào phương trình thứ hai của $(*)$ ta thấy chỉ có $z=6$ thoả mãn (vì $y\in \mathbb{N}^{*}$). Vậy $z=6$, suy ra $y=90,x=4$.
Vậy số cam, quýt, thanh yên đã mua lần lượt là 4,90 và 6 quả.