Cho tam giác $ ABC $ với tọa độ các điểm $ A\left ( { 0;\,0 } \right ) $, $ B\left ( { 2;\,4 } \right ) $ và $ C\left ( { 4;0 } \right ) $. Thể tích hình tròn xoay khi quay tam giác $ ABC $ quanh trục $ Ox $ bằng

Nhận xét: Với $ D $ là trung điểm $ AC $, bằng hình ảnh trực quan, ta thấy rằng tam giác $ ABC $ cân tại $ B $; $ DB⊥Ox $, do đó thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác $ ABC $ quanh trục $ Ox $ sẽ gấp 2 lần thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác $ ABD $ quanh trục $ Ox $. Ta lập phương trình đường thẳng $ d $ đi qua 2 điểm $ A $ và $ B $. Ta có: $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { 2;4 } \right ) $ là vector chỉ phương của đường thẳng $ d $, suy ra vector pháp tuyến của $ d $ là $ \overset\rightarrow { n }=\left ( { 4;-2 } \right ) $. Phương trình đường thẳng $ d $ di qua $ A\left ( { 0;0 } \right ) $, nhận $ \overset\rightarrow { n }=\left ( { 4;-2 } \right ) $ làm vector pháp tuyến là: $ 4\left ( { x-0 } \right )+\left ( { -2 } \right )\left ( { y-0 } \right )=0⇔4x-2y=0⇔y=2x $. Khi đó, quay tam giác $ ABD $ quanh trục $ Ox $ ta được thể tích khối tròn xoay là $ \pi\int_{0}^{4}f^{2}\left( x \right)dx=\pi\int_{0}^{4}\left( 2x \right)^{2}dx=4\pi\int_{0}^{4}x^{2}dx=4\pi\left. \frac{x^{3}}{3} \right|_{0}^{4}=\frac{256}{3}\pi $. Như vậy, khi quay tam giác $ ABC $ quanh trục $ Ox $ thì ta được thể tích khối tròn xoay là: $ V=2.\frac { 256 } { 3 }\pi =\frac { 512 } { 3 }\pi $. Cách 2. Nếu không nhận ra được tam giác đã cho cân, học sinh hoàn toàn có thể tính thể tích khối tròn xoay bằng cách lấy từng tam giác $ ABD $ và $ BDC $ quay quanh trục $ Ox $. Khi đó, cần phải thiết lập phương trình đường thẳng $ BC $.