Trắc nghiệm · Câu 74
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \begin{cases} x=1-t \\ y=-4+2t \\ z=1-2t \end{cases}$ và đường thẳng $\Delta: \frac{x-1}{2} = \frac{y+4}{-4} = \frac{z-2}{-1}$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $d$ và $\Delta$. Giá trị $\cos\alpha$ là
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
A.
$\cos\alpha = \frac{8\sqrt{21}}{63}$
Lời giải
Lời giải
Một vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u} = (-1; 2; -2)$.
Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{v} = (2; -4; -1)$.
Công thức tính cosin của góc $\alpha$ giữa hai đường thẳng là:
$$
\cos\alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}
$$
Ta có:
$$
|\vec{u} \cdot \vec{v}| = |(-1)(2) + 2(-4) + (-2)(-1)| = |-2 - 8 + 2| = |-8| = 8
$$
$$
|\vec{u}| = \sqrt{(-1)^{2} + 2^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3
$$
$$
|\vec{v}| = \sqrt{2^{2} + (-4)^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21}
$$
Vậy:
$$
\cos\alpha = \frac{8}{3\sqrt{21}} = \frac{8\sqrt{21}}{3 \cdot 21} = \frac{8\sqrt{21}}{63}
$$