Cho tam thức $ f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } -\left ( { m+2 } \right )x+3m-3. $ Tập hợp $ S $ bao gồm tất cả các số nguyên dương $ m $ để $ f\left ( { x } \right )>0,\,∀x∈\left [ { 5;+∞ } \right ). $ Tổng tất cả các phần tử của tập hợp $ S $?

Có phương trình $ f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } -\left ( { m+2 } \right )x+3m-3=0⇔\left[ x=3 \ x=m-1 \right. $ - TH1: Nếu $ m-1=3⇔m=4⇒f\left ( { x } \right )>0,\,∀x≠3 ⇒f\left ( { x } \right )>0,\,∀x∈\left [ { 5;+∞ } \right ). $ - TH2: Nếu $ m-1 < 3⇔m < 4⇒f\left ( { x } \right )>0,\,∀x>3 ⇒f\left ( { x } \right )>0,\,∀x∈\left [ { 5;+∞ } \right ). $ - TH3: Nếu $ m-1>3⇔m>4⇒f\left ( { x } \right )>0\,,\,∀x>m-1 ⇒f\left ( { x } \right )>0,\,∀x∈\left [ { 5;+∞ } \right ) $ $ ⇔m-1 < 5⇔m < 6 $, suy ra $ 4 < m < 6 $ Vậy $ m=1;2;3;4;5⇒S=1+2+3+4+5=15 $