Vào đầu mùa đông, trang trại A lắp mới 10 bóng đèn để sưởi ấm cho gà. Các bóng đèn hoạt động độc lập với nhau và sẽ được bật liên tục trong mùa đông. Bóng bị hỏng không được thay thế. Xác suất không bị hỏng trong cả mùa đông của mỗi bóng đều bằng 0,8. Đàn gà sẽ đủ ấm nếu có ít nhất 7 bóng đèn hoạt động.
a) Tính xác suất của biến cố "Đàn gà đủ ấm trong suốt mùa đông".
b) Nếu người ta mua dự trữ thêm 1 bóng đèn loại rất tốt, chắc chắn có thể sử dụng hết cả mùa đông, và sẽ sử dụng nó thay thế cho bóng đèn đầu tiên bị hỏng trong 10 bóng đèn ban đầu, thì xác suất của biến cố "Đàn gà đủ ấm trong suốt mùa đông" là bao nhiêu?

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Gọi $ X $ là số bóng đèn không bị hỏng trong suốt mùa đông. Do các bóng đèn hoạt động độc lập với nhau và xác suất không bị hỏng của mỗi bóng đèn đều bằng 0,8 nên $ X $ có phân bố nhị thức $ B(10;0,8) $. a) Biến cố "Đàn gà đủ ấm trong suốt mùa đông" xảy ra khi $ X\geq 7 $ nên xác suất của biến cố này là $ C_{ 10 } ^{ 7 }\cdot 0,8 ^ { 7 } \cdot 0,2 ^ { 3 } +C_{ 10 } ^{ 8 }\cdot 0,8 ^ { 8 } \cdot 0,2 ^ { 2 } +C_{ 10 } ^{ 9 }\cdot 0,8 ^ { 9 } \cdot 0,2 ^ { 1 } +C_{ 10 } ^{ 10 }\cdot 0,8 ^ { 10 } \cdot 0,2 ^ { 0 } \approx 0,88 $ b) Khi mua thêm bóng đèn dự trữ thì biến cố "Đàn gà đủ ấm trong suốt mùa đông" xảy ra khi $ X\geq 6 $. Xác suất của biến cố này là $ 0,88+C_{ 10 } ^{ 6 }\cdot 0,8 ^ { 6 } \cdot 0,2 ^ { 4 } \approx 0,97. $

Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 37