Cho $ f(x)=\sin\left ( { x+\frac { \pi } { 3 } } \right )\, $, $ g(x)={ \rm{ \cos } }\left ( { 2x-\frac { \pi } { 4 } } \right ) $. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Đúng. Phương trình $ f(x)=0 $ $ ⇔\sin\left ( { x+\frac { \pi } { 3 } } \right )=0⇔x+\frac { \pi } { 3 }=k\pi ⇔x=-\frac { \pi } { 3 }+k\pi . $ Vì $ x\in \left ( { -\pi ,\pi } \right )⇒-\pi < -\frac { \pi } { 3 }+k\pi < \pi ⇒-\frac { 2 } { 3 } < k < \frac { 4 } { 3 } $. Mà $ k\in \mathbb{Z}⇒k\in \left\{0;1\right\} $. Do vậy phương trình $ f(x)=0 $ có 2 nghiệm trong khoảng $ \left ( { -\pi ,\pi } \right ) $. b) Sai. Phương trình $ g(x)=1⇔{ \rm{ \cos } }\left ( { 2x-\frac { \pi } { 4 } } \right )=1⇔2x-\frac { \pi } { 4 }=k2\pi ⇔x=\frac { \pi } { 8 }+k\pi \,\,\,\left ( { k\in \mathbb{Z} } \right ) $. Vì $ x\in \left ( { -\pi ,\pi } \right )⇒-\pi < \frac { \pi } { 8 }+k\pi < \pi ⇒-\frac { 9 } { 8 } < k < \frac { 7 } { 8 } $. Mà $ k\in \mathbb{Z}⇒k\in \left\{-1;0\right\} $. Do vậy phương trình $ g(x)=1 $ có 2 nghiệm trong khoảng $ \left ( { -\pi ,\pi } \right ) $. c) Sai. Phương trình $ f(x)=g(x) $$ ⇔ $ $ sin\left ( { x+\frac { \pi } { 3 } } \right )\,={ \rm{ cos } }\left ( { 2x-\frac { \pi } { 4 } } \right ) $ $ ⇔sin\left ( { x+\frac { \pi } { 3 } } \right )=sin\left ( { \frac { \pi } { 2 }-\left ( { 2x-\frac { \pi } { 4 } } \right ) } \right ) $ $ ⇔\left[\begin{array}{l} x+\frac { \pi } { 3 }=\frac { 3\pi } { 4 }-2x+k2\pi \\ x+\frac { \pi } { 3 }=\pi -\left ( { \frac { 3\pi } { 4 }-2x } \right )+k2\pi \end{array}\right.⇔\left[\begin{array}{l} x=\frac { 5\pi } { 36 }+\frac { k2\pi } { 3 } \\ x=\frac { \pi } { 12 }+n2\pi \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\left ( { k;n\in \mathbb{Z} } \right ) $. Ta có $ 0\leq \frac { 5\pi } { 36 }+\frac { k2\pi } { 3 }\leq 2\pi ⇔-\frac { 5 } { 24 }\leq k\leq \frac { 67 } { 24 } $. Suy ra $ k\in { \rm{ \{ } }0;1;2\}⇒x=\frac { 53\pi } { 36 } $ là nghiệm dương lớn nhất trong đoạn $ \left[ 0;2\pi \right] $ của họ nghiệm này. Xét $ 0\leq \frac { \pi } { 12 }+n2\pi \leq 2\pi ⇔-\frac { 1 } { 24 }\leq n\leq \frac { 23 } { 24 } $. Suy ra $ n=0⇒x=\frac { \pi } { 12 } $là nghiệm dương duy nhất trong đoạn $ \left[ 0;2\pi \right] $ của họ nghiệm này. Từ 2 trường hợp trên ta có nghiệm dương lớn nhất của phương trình$ f(x)=g(x) $ trong đoạn $ \left[ 0;2\pi \right] $ là $ x=\frac { 53\pi } { 36 } $. d) Đúng. Phương trình $ \left[ f(x) \right] ^ { 2 } =\left[ g(x) \right] ^ { 2 } $ $ ⇔ $ $ \frac { 1-{ \rm{ cos } }\left ( { 2x+\frac { 2\pi } { 3 } } \right ) } { 2 }=\frac { 1+{ \rm{ cos } }\left ( { 4x-\frac { \pi } { 2 } } \right ) } { 2 } $ $ ⇔-{ \rm{ cos } }\left ( { 2x+\frac { 2\pi } { 3 } } \right )={ \rm{ cos } }\left ( { 4x-\frac { \pi } { 2 } } \right ) \\ ⇔{ \rm{ cos } }\left ( { \pi -\left ( { 2x+\frac { 2\pi } { 3 } } \right ) } \right )={ \rm{ cos } }\left ( { \frac { \pi } { 2 }-4x } \right ) \\ ⇔{ \rm{ cos } }\left ( { 2x-\frac { \pi } { 3 } } \right )=sin4x $ Vậy phương trình $ \left[ f(x) \right] ^ { 2 } =\left[ g(x) \right] ^ { 2 } $tương đương với phương trình $ { \rm{ cos } }\left ( { 2x-\frac { \pi } { 3 } } \right )=sin4x $.