Phương trình đường thẳng $ \left ( { d } \right ) $ đi qua $ M\left ( { 1;4 } \right ) $và cắt các tia $ Ox $,$ Oy $ lần lượt tại $ A $ và $ B $ sao cho $ OA+OB $ đạt giá trị nhỏ nhất có dạng $ \frac { x } { a }+\frac { y } { b }=1 $. Tính $ P=a-b $?

Lời giải Đáp án: $ -3 $. Gọi $ A\left ( { a;0 } \right ) $,$ B\left ( { 0;b } \right ) $ ($ a>0;\,b>0 $). Ta có: $ OA+OB=a+b $. Phương trình đường thẳng $ \left ( { d } \right ) $có dạng: $ \frac { x } { a }+\frac { y } { b }=1 $. Vì $ M∈\left ( { d } \right ) $ nên $ \frac { 1 } { a }+\frac { 4 } { b }=1 $. Ta có: $ \left ( { 1+2 } \right ) ^ { 2 } =\left ( { \frac { 1 } { \sqrt[] { a } }\sqrt[] { a }+\frac { 2 } { \sqrt[] { b } }\sqrt[] { b } } \right ) ^ { 2 } ≤\left ( { \frac { 1 } { a }+\frac { 4 } { b } } \right )\left ( { a+b } \right ) $ $ ⇔a+b≥9 $ hay $ OA+OB≥9 $ Suy ra $ OA+OB $ đạt giá trị nhỏ nhất khi: $ \left \{ \begin{array}{l} \frac { 1 } { a }+\frac { 4 } { b }=1 \\ \frac { 1 } { a }=\frac { 2 } { b } \end{array} \right. $ $ ⇔\left \{ \begin{array}{l} a=3 \\ b=6 \end{array} \right. $. Phương trình đường thẳng $ \left ( { d } \right ) $là: $ \frac { x } { 3 }+\frac { y } { 6 }=1 $. Suy ra $ P=a-b=3-6=-3 $.