Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy $, cho hai đường thẳng $ d_{ 1 } :\,2x-y-2=0 $, $ d_{ 2 } :\,x+y+3=0 $ và điểm $ M\left ( { 0;\frac { 1 } { 2 } } \right ) $. Phương trình đường thẳng $ Δ $ qua $ M $, cắt $ d_{ 1 } $ và $ d_{ 2 } $ lần lượt tại điểm $ A $ và $ B $ sao cho $ M $ là trung điểm của đoạn thẳng $ AB $có dạng $ ax+by+2=0 $. Tính giá trị biểu thức $ S=a+b $.

Gọi $ A\left ( { x_{ 1 } ;2x_{ 1 } -2 } \right )∈d_{ 1 } $ và $ B\left ( { x_{ 2 } ;-x_{ 2 } -3 } \right )∈d_{ 2 } $ Vì $ M $ là trung điểm của đoạn thẳng $ AB $ nên $ \left \{ \begin{array}{l} x_{ 1 } +x_{ 2 } =0 \\ \left ( { 2x_{ 1 } -2 } \right )+\left ( { -x_{ 2 } -3 } \right )=1 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x_{ 1 } +x_{ 2 } =0 \\ 2x_{ 1 } -x_{ 2 } =6 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x_{ 1 } =2 \\ x_{ 2 } =-2 \end{array} \right. $ Khi đó $ A\left ( { 2;2 } \right ) $ và $ B\left ( { -2;-1 } \right ) $ Phương trình đường thẳng $ Δ $ đi qua 2 điểm $ A $ và $ B $ là $ 3x-4y+2=0. $ Vậy $ S=3-4=-1 $