Cho hàm số $ y=f(x)=\sqrt[] { 2x+1 } $ có đồ thị $ \left ( { C } \right ) $. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $ \left ( { C } \right ) $ vuông góc với đường thẳng $ y=-3x+2 $ có dạng $ y=ax+b $. Tính giá trị của biểu thức $ P=a+b $.

Gọi $ M(x_{ 0 } ;y_{ 0 } ) $ là tiếp điểm. $ y=\sqrt[] { 2x+1 }⇒y'=f'(x)=\frac { 1 } { \sqrt[] { 2x+1 } } $. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $ y=-3x+2 $ nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng $ \frac { 1 } { 3 } $ $ ⇔f'(x_{ 0 } )=\frac { 1 } { 3 }⇔\frac { 1 } { \sqrt[] { 2x_{ 0 } +1 } }=\frac { 1 } { 3 }⇔x_{ 0 } =4⇒y_{ 0 } =3 $ $ ⇒ $PTTT: $ y=\frac { 1 } { 3 }(x-4)+3=\frac { 1 } { 3 }x+\frac { 5 } { 3 } $. Suy ra $ a=\frac { 1 } { 3 } $, $ b=\frac { 5 } { 3 } $ $ ⇒P=2 $.