Cho hàm số: $ y=\frac { 2x+2 } { x-1 } $ có đồ thị $ \left ( { C } \right ) $. Biết rằng có hai tiếp tuyến của đồ thị mà khoảng cách từ tiếp điểm đến trục $ Oy $ bằng $ 2 $ là $ y=ax+b $ và $ y=cx+d $. Tính $ a+b+c+d $.

Hàm số đã cho xác định với $ ∀x≠1 $. Ta có: $ y'=\frac { -4 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } } $. Gọi $ M\left ( { x_{ 0 } ;y_{ 0 } } \right ) $ là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của $ \left ( { C } \right ): $ $ y=\frac { -4 } { \left ( { x_{ 0 } -1 } \right ) ^ { 2 } }\left ( { x-x_{ 0 } } \right )+\frac { 2x_{ 0 } +2 } { x_{ 0 } -1 } $ với $ y'\left ( { x_{ 0 } } \right )=\frac { -4 } { \left ( { x_{ 0 } -1 } \right ) ^ { 2 } } $ và $ y_{ 0 } =\frac { 2x_{ 0 } +2 } { x_{ 0 } -1 } $. Khoảng cách từ $ M\left ( { x_{ 0 } ;y_{ 0 } } \right ) $ đến trục $ Oy $bằng $ 2 $ suy ra $ x_{ 0 } =±2 $, hay $ M\left ( { -2;\frac { 2 } { 3 } } \right ) $, $ M\left ( { 2;6 } \right ) $. Phương trình tiếp tuyến tại $ M\left ( { -2;\frac { 2 } { 3 } } \right ) $ là: $ y=-\frac { 4 } { 9 }x-\frac { 2 } { 9 } $ Phương trình tiếp tuyến tại $ M\left ( { 2;6 } \right ) $ là: $ y=-4x+14 $ Vậy, có $ 2 $ tiếp tuyến thỏa đề bài: $ y=-\frac { 4 } { 9 }x-\frac { 2 } { 9 } $ và $ y=-4x+14 $, suy ra $ a=-\frac { 4 } { 9 } ,\,b=-\frac { 2 } { 9 } ,\,c=-4,\,d=14 $. Vậy $ a+b+c+d=-\frac { 4 } { 9 }-\frac { 2 } { 9 }-4+14=\frac { 28 } { 3 }≈9,33 $.