Cho hai dãy số $ (u_{ n } ) $ với $ u_{ n } =-2024n+2025 $ và $ (v_{ n } ) $ với $ v_{ n } =\frac { 3n-2 } { n+1 } $. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:

a) Xét $ u_{ n+1 } -u_{ n } =\left[ -2024\left ( { n+1 } \right )+2025 \right]-\left ( { -2024n+2025 } \right )=-2024 < 0 $. Suy ra $ u_{ n+1 } < u_{ n } ,\,\,\,∀n∈\mathbb{N} ^ { * } $. Vậy dãy số $ (u_{ n } ) $ là dãy số giảm. Suy ra mệnh đề Đúng. b) Xét $ v_{ n+1 } -v_{ n } =\frac { 3\left ( { n+1 } \right )-2 } { \left ( { n+1 } \right )+1 }-\frac { 3n-2 } { n+1 }=\frac { 3n+1 } { n+2 }-\frac { 3n-2 } { n+1 }=\frac { 5 } { \left ( { n+1 } \right )\left ( { n+2 } \right ) }>0,\,\,∀n∈\mathbb{N} ^ { * } $ Suy ra $ v_{ n+1 } >v_{ n } ,\,\,\,∀n∈\mathbb{N} ^ { * } $. Vậy dãy số $ (u_{ n } ) $ là dãy số tăng. Suy ra mệnh đề Đúng. c) Ta có $ v_{ n } =\frac { 3n-2 } { n+1 }=3-\frac { 8 } { n+1 } < 3,\,\,∀n∈\mathbb{N} ^ { * } $, suy ra dãy $ \left ( { v_{ n } } \right ) $ bị chặn trên (1). Mặt khác, theo câu b, dãy $ \left ( { v_{ n } } \right ) $ là dãy tăng nên $ v_{ n } ≥v_{ 1 } =\frac { 1 } { 2 } $, suy ra dãy $ \left ( { v_{ n } } \right ) $ bị chặn dưới (2). Từ (1) và (2) suy ra dãy $ \left ( { v_{ n } } \right ) $ bị chặn. Suy ra mệnh đề Đúng. d) Với $ ∀m∈\mathbb{R} $, chọn $ \left \{ \begin{array}{l} n_{ 0 } ∈\mathbb{N} ^ { * } \\ n_{ 0 } >\left[ \frac { 2025-m } { 2024 } \right]+1 \end{array} \right. $, $ \left[ \frac { 2025-m } { 2024 } \right] $ là phần nguyên của $ \frac { 2025-m } { 2024 } $. Khi đó, ta có $ -2024.n_{ 0 } +2025 < -2024.\left ( { \left[ \frac { 2025-m } { 2024 } \right]+1 } \right )+2025 < -2024.\frac { 2025-m } { 2024 }+2025=m $. Vậy dãy số $ (u_{ n } ) $ không bị chặn dưới. Suy ra mệnh đề Sai.