Trong không gian $ Oxyz $, cho hai mặt phẳng $ \left ( { \alpha } \right ):2x+y-z+3=0 $ và $ \left ( { \beta } \right ):x+y+z-1=0 $. Phương trình chính tắc đường thẳng $ Δ $ là giao tuyến của hai mặt phẳng $ \left ( { \alpha } \right ) $ và $ \left ( { \beta } \right ) $ có dạng $ Δ:\frac { x+a } { c }=\frac { y-b } { d }=\frac { z } { 1 } $. Tính $ T=\left ( { a+b+c+3d } \right ).2024 $ ?

Lời giải Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng là $\vec{n}_{1} = (2; 1; -1)$ và $\vec{n}_{2} = (1; 1; 1)$. Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là: $$ \vec{u}_{\Delta} = [\vec{n}_{1}, \vec{n}_{2}] = (1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1; -1 \cdot 1 - 2 \cdot 1; 2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = (2; -3; 1) $$ Chọn $z = 0$, ta có hệ: $$ \begin{cases} 2x + y = -3 \\ x + y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -4 \\ y = 5 \end{cases} $$ Điểm chung $A(-4; 5; 0)$. Phương trình chính tắc đường thẳng $\Delta: \frac{x + 4}{2} = \frac{y - 5}{-3} = \frac{z}{1}$. Vậy $a = 4, b = 5, c = 2, d = -3$. $$ T = (4 + 5 + 2 + 3(-3)) \cdot 2024 = (11 - 9) \cdot 2024 = 2 \cdot 2024 = 4048 $$