Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } -3x+2 $. Phương trình: $ 4f'(x)-\left ( { 2x-5 } \right )f''(x)-x+1=2\sqrt[] { 25-x ^ { 2 } } $ có số nghiệm là:

Ta có $ f'(x)=2x-3,\,{ \rm{ } }f''(x)=2 $ Do đó $ 4f'(x)-\left ( { 2x-5 } \right )f''(x)-x+1=2\sqrt[] { 25-x ^ { 2 } }{ \rm{ } }⇔{ \rm{ } }4\left ( { 2x-3 } \right )-2\left ( { 2x-5 } \right )-x+1=2\sqrt[] { 25-x ^ { 2 } } $ $ ⇔3x-1=2\sqrt[] { 25-x ^ { 2 } }⇔\left \{ \begin{array}{l} x≥\frac { 1 } { 3 } \\ \left ( { 3x-1 } \right ) ^ { 2 } =4\left ( { 25-x ^ { 2 } } \right ) \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x≥\frac { 1 } { 3 } \\ 13x ^ { 2 } -6x-99=0 \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} x≥\frac { 1 } { 3 } \\ \left[ \begin{array}{l} x=3 \\ x=-\frac { 33 } { 13 } \end{array} \right. \end{array} \right.⇔x=3 $ Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.