Cho $ a=\log_{ 5 } 18 $ và $ b=\log_{ 5 } 60 $. Biểu thị $ \log_{ 3 } 2 $ theo $ a $ và $ b $ thu được $ \log_{ 3 } 2=\frac { ma+nb-2 } { na+mb+1 } $. Tính $ m+n. $

Đầu tiên ta có hệ $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} a=\log_{ 5 } 18=\log_{ 5 } 2+2\log_{ 5 } 3 \\ b=\log_{ 5 } 60=2\log_{ 5 } 2+\log_{ 5 } 3+1 \\ \end{array} \end{array} \right. $. Đặt $ x=\log_{ 5 } 2 $ và $ y=\log_{ 5 } 3 $ từ đó ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x+2y=a \\ 2x+y=b-1 \\ \end{array} ⇔\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=\log_{ 5 } 2=\frac { -a+2b-2 } { 3 } \\ y=\log_{ 5 } 3=\frac { 2a-b+1 } { 3 } \\ \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right.{ \rm{ . } } $ Nên $ \log_{ 3 } 2=\frac { \log_{ 5 } 2 } { \log_{ 5 } 3 }=\frac { -a+2b-2 } { 2a-b+1 } $. Do đó: $ \left \{ \begin{array}{l} m=-1 \\ n=2 \end{array} \right.⇒m+n=1. $