Hộp thứ nhất chứa $ 5 $ viên bi xanh và $ 1 $ viên bi đỏ. Hộp thứ hai chứa 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên $ 3 $viên bi từ hộp thứ nhất và bỏ vào hộp thứ hai, rồi từ hộp thứ hai lấy ra ngẫu nhiên $ 2 $viên bi. Biết $ 2 $viên bi lấy ra ở hộp thứ hai có cùng màu. Tính xác suất để $ 3 $viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cũng có cùng màu.

Lời giải Gọi $A$ là biến cố “2 viên bi lấy từ hộp 2 cùng màu”. Gọi $B$ là biến cố “3 viên bi lấy từ hộp 1 cùng màu”. Hộp 1 có 5 xanh, 1 đỏ. Lấy 3 viên bi: TH1: 3 viên xanh (biến cố $B$ xảy ra). Hộp 2 sẽ có 3 xanh, 4 đỏ (Tổng 7). TH2: 2 xanh, 1 đỏ (biến cố $\overline{B}$ xảy ra). Hộp 2 sẽ có 2 xanh, 5 đỏ (Tổng 7). $P(B) = \frac{C_{5}^{3}}{C_{6}^{3}} = 0,5$. $P(\overline{B}) = \frac{C_{5}^{2} \cdot C_{1}^{1}}{C_{6}^{3}} = 0,5$. $P(A|B) = \frac{C_{3}^{2} + C_{4}^{2}}{C_{7}^{2}} = \frac{3+6}{21} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$. $P(A|\overline{B}) = \frac{C_{2}^{2} + C_{5}^{2}}{C_{7}^{2}} = \frac{1+10}{21} = \frac{11}{21}$. Áp dụng công thức Bayes: $P(B|A) = \frac{P(B) \cdot P(A|B)}{P(B) \cdot P(A|B) + P(\overline{B}) \cdot P(A|\overline{B})} = \frac{0,5 \cdot \frac{3}{7}}{0,5 \cdot \frac{3}{7} + 0,5 \cdot \frac{11}{21}} = \frac{3/7}{3/7 + 11/21} = \frac{9/21}{20/21} = 0,45$.