Cho hàm số $ y=\frac { x ^ { 2 } +2x-1 } { x-1 } $ có đồ thị $ \left ( { C } \right ) $.

Ta có $ y=\frac { x ^ { 2 } +2x-1 } { x-1 }=x+3+\frac { 2 } { x-1 } $ xác định $ ⇔x\neq 1 $ $ y'=1-\frac { 2 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } }=\frac { x ^ { 2 } -2x-1 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } } $ $ y'=0⇔\frac { x ^ { 2 } -2x-1 } { \left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } }=0⇔x=1±\sqrt[] { 2 } $ $ \lim\limits_{ x\to +\infty } \frac { x ^ { 2 } +2x-1 } { x-1 }=+\infty ;\lim\limits_{ x\to -\infty } \frac { x ^ { 2 } +2x-1 } { x-1 }=-\infty ;\lim\limits_{ x\to 1 ^ { + } } \frac { x ^ { 2 } +2x-1 } { x-1 }=+\infty ;\lim\limits_{ x\to 1 ^ { - } } \frac { x ^ { 2 } +2x-1 } { x-1 }=-\infty $ Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có: a) Hàm số có 2 điểm cực trị, suy ra mệnh đề đúng. b) Hàm số có tiệm cận đứng $ x=1 $, suy ra mệnh đề đúng. c) Hàm số không xác định trên khoảng $ \left ( { 0\,;2 } \right ) $ nên nó không nghịch biến trên khoảng $ \left ( { 0\,;2 } \right ) $, suy ra mệnh đề sai. d) Đồ thị hàm số có TCĐ là đường thẳng $ d:\,\,x=1 $; TCX là đường thẳng $ Δ:y=x+3 $ $ { \rm{ d } }\left ( { M;{ \rm{ d } } } \right )=\left | { m-1 } \right | $; $ { \rm{ d } }\left ( { M;Δ } \right )=\frac { \left | { m-\left ( { m+3+\frac { 2 } { m-1 } } \right )+3 } \right | } { \sqrt[] { 2 } }=\frac { \sqrt[] { 2 } } { \left | { m-1 } \right | } $ Vậy: $ { \rm{ d } }\left ( { M;{ \rm{ d } } } \right ).{ \rm{ d } }\left ( { M;Δ } \right )=\left | { m-1 } \right |.\frac { \sqrt[] { 2 } } { \left | { m-1 } \right | }=\sqrt[] { 2 } $, suy ra mệnh đề đúng.