Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $ Oxy $, cho đường tròn $ \left ( { C } \right ):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } -4x-2y-1\,=\,,0 $ và đường thẳng $ d:x+y+1\,=\,,0 $. Có bao nhiêu điểm $ M $ thuộc đường thẳng $ d $ sao cho từ điểm $ M $ kẻ được đến $ \left ( { C } \right ) $ hai tiếp tuyến hợp với nhau góc $ 90° $?

Do điểm $ M $ thuộc $ d $ suy ra $ M(t;-1-t) $. Nếu 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau thì $ MAIB $ là hình vuông ($ A $,$ B $ là 2 tiếp điểm). Do đó $ AB=MI=IA\sqrt[] { 2 }=R\sqrt[] { 2 }=\sqrt[] { 6 }.\sqrt[] { 2 }=2\sqrt[] { 3 } $. Ta có: $ MI=\sqrt[] { \left ( { 2-t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 2+t } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { 2t ^ { 2 } +8 }=2\sqrt[] { 3 } $. Do đó: $ 2t ^ { 2 } +8=12 $ $ ⇔t ^ { 2 } =2 $ $ ⇔\left[ t=-\sqrt[] { 2 } \ t=\sqrt[] { 2 } \right. $. Khi ấy ta được $ M\left ( { -\sqrt[] { 2 };\sqrt[] { 2 }-1 } \right ) $ hoặc $ M\left ( { \sqrt[] { 2 };-\sqrt[] { 2 }-1 } \right ) $.