Cho dãy số $ (u_{ n } ) $ thỏa mãn $ \left \{ \begin{array}{l} u_{ 1 } =1 \ u_{ n } =2u_{ n-1 } +1;n≥2 \end{array} ight. $. Tổng $ S=u_{ 1 } +u_{ 2 } +...+u_{ 20 } $ bằng

Question

Cho dãy số $ (u_{ n } ) $ thỏa mãn $ \left \{ \begin{array}{l} u_{ 1 } =1 \ u_{ n } =2u_{ n-1 } +1;n≥2 \end{array} ight. $. Tổng $ S=u_{ 1 } +u_{ 2 } +...+u_{ 20 } $ bằng

Beedemy · Accepted Answer

B. $ 2 ^ { 21 } -22. $ Lời giải: $ u_{ n } =2u_{ n-1 } +1⇔u_{ n } +1=2\left ( { u_{ n-1 } +1 } \right ) $ Đặt $ v_{ n } =u_{ n } +1, $ ta có$ v_{ n } =2v_{ n-1 } $ trong đó $ v_{ 1 } =2 $ Vậy$ (v_{ n } ) $ là cấp số nhân có số hạng đầu $ v_{ 1 } =2 $ và công bội bằng $ 2, $ nên số hạng tổng quát $ v_{ n } =2 ^ { n } ⇒u_{ n } =v_{ n } -1=2 ^ { n } -1 $ $ ⇒S=u_{ 1 } +u_{ 2 } +...+u_{ 20 } =\left ( { 2 ^ { 1 } -1 } \right )+\left ( { 2 ^ { 2 } -1 } \right )+...+\left ( { 2 ^ { 20 } -1 } \right ) =\left ( { 2 ^ { 1 } +2 ^ { 2 } +...+2 ^ { 20 } } \right )-20 $ $ S=2.\left ( { 2 ^ { 20 } -1 } \right )-20=2 ^ { 21 } -22. $

Cho dãy số $ (u_{ n } ) $ thỏa mãn $ \left \{ \begin{array}{l} u_{ 1 } =1 \\ u_{ n } =2u_{ n-1 } +1;n≥2 \end{array} \right. $. Tổng $ S=u_{ 1 } +u_{ 2 } +...+u_{ 20 } $ bằng

Cùng dạng: Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân S n = u 1(q^n − 1)/(q − 1)