Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $ f\left( x;y \right)=4x+3y $ với điều kiện: $ \left\{ \begin{array}{l} 0 \le y \le 4 \quad (d_1) \\ 0 \le x \quad (d_2) \\ x-y-1 \le 0 \quad (d_3) \\ x+2y-10 \le 0 \quad (d_4) \end{array} \right. $

Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền đa giác $ OABCD $ (bao gồm cả các cạnh). Tọa độ các đỉnh của đa giác được xác định bằng phương pháp đồ thị hoặc giải các hệ phương trình hoành độ giao điểm: - $ O(0;0) $ - $ A(1;0) $ - $ B(2;4) $ - $ C(4;3) $ - $ D(0;4) $ Thay tọa độ các đỉnh vào biểu thức $ f(x;y)=4x+3y $, ta được bảng giá trị sau: | Đỉnh | Tọa độ $ (x;y) $ | Giá trị $ f(x;y) $ | | :--- | :--- | :--- | | $ O $ | $ (0;0) $ | $ 0 $ | | $ A $ | $ (1;0) $ | $ 4 $ | | $ B $ | $ (2;4) $ | $ 20 $ | | $ C $ | $ (4;3) $ | $ 25 $ | | $ D $ | $ (0;4) $ | $ 12 $ | So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị lớn nhất của biểu thức là $ 25 $ tại đỉnh $ C(4;3) $.