Với hình vuông $C_1$ như hình vẽ bên, cách tô màu như phần gạch sọc được gọi là cách tô màu “đẹp”. Một nhà thiết kế tiến hành tô màu cho một hình vuông như hình bên, theo quy trình sau: Bước 1: Tô màu “đẹp” cho hình vuông $C_1$. Bước 2: Tô màu “đẹp” cho hình vuông $C_2$ là hình vuông ở chính giữa khi chia hình vuông $C_1$ thành 9 phần bằng nhau như hình vẽ. Bước 3: Tô màu “đẹp” cho hình vuông $C_3$ là hình vuông ở chính giữa khi chia hình vuông $C_2$ thành 9 phần bằng nhau. Cứ tiếp tục như vậy. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu bước để tổng diện tích phần được tô màu chiếm ít nhất $49,99\%$ diện tích hình vuông ban đầu?

Question

Beedemy · Accepted Answer

A. $4$ Lời giải: Chuẩn hóa diện tích hình vuông ban đầu bằng $1$. Gọi $u_n$ là diện tích được tô thêm ở bước thứ $n$. Theo hình vẽ, $(u_n)$ là cấp số nhân với $u_1=\frac49$ và $q=\frac19$. Sau $k$ bước, tổng diện tích đã tô là $S_k=\frac{u_1(1-q^k)}{1-q}=\frac12(1-9^{-k})$. Cần $S_k\ge0,4999$, tương đương $9^{-k}\le0,0002$. Ta có $k\ge3,88$, nên số nguyên nhỏ nhất là $k=4$. Vậy cần ít nhất 4 bước.

Cùng dạng: Ứng dụng cấp số nhân vào bài toán lãi suất, tăng trưởng dân số, phân rã