Cho bất phương trình $2^{x+3} + 2^{m-x} < 2^{m+3} + 1$.

a) Sai b) Sai c) Đúng d) Đúng Lời giải a) Điều kiện xác định: $\forall x \in \mathbb{R}$. b) Với $m = 0$, bất phương trình trở thành: $$ 8 \cdot 2^{x} + \frac{1}{2^{x}} < 9 \Leftrightarrow 8 \cdot 4^{x} - 9 \cdot 2^{x} + 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{1}{8} < 2^{x} < 1 \Leftrightarrow -3 < x < 0 $$ Số nghiệm nguyên là 2 (gồm $x = -2$, $x = -1$). c) Đặt $2^{x} = t$ ($t > 0$) bpt trở thành: $$ 8t + \frac{2^{m}}{t} < 8 \cdot 2^{m} + 1 \Leftrightarrow 8t^{2} - (8 \cdot 2^{m} + 1)t + 2^{m} < 0 $$ d) Ta biến đổi bất phương trình ban đầu thành dạng tích: $$ \Big(2^{x+3} - 1\Big)\Big(2^{m-x} - 1\Big) > 0 $$ * Trường hợp 1: $$ \left\{\begin{array}{l}2^{x+3} - 1 < 0\\ 2^{m-x} - 1 < 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x < -3\\ x > m\end{array}\right. $$ (Vô nghiệm khi xét $m$ nguyên dương). * Trường hợp 2: $$ \left\{\begin{array}{l}2^{x+3} - 1 > 0\\ 2^{m-x} - 1 > 0\end{array}\right. \Leftrightarrow -3 < x < m $$ Để bất phương trình có nhiều nhất 20 nghiệm nguyên thì số nghiệm nguyên thỏa mãn chỉ có thể đạt tối đa đến $17$, suy ra $m \leq 18$. Vì $m$ nguyên dương nên $m \in \{1; 2; 3; \dots; 18\}$. Tổng các giá trị của $m$ là: $$ 1 + 2 + 3 + \dots + 18 = 171 $$