Một xét nghiệm Covid – 19 cho kết quả dương tính với $ 90\% $ các trường hợp thực sự nhiễm virus và cho kết quả âm tính với $ 80\% $ các trường hợp thực sự không nhiễm virus. Biết rằng tỉ lệ người nhiễm Covid – 19 trong một cộng đồng nào đó là $ 1\% $. Một người trong cộng đồng đó cho kết quả xét nghiệm dương tính. Xác suất để người đó thực sự bị nhiễm virus có dạng $ \frac { a } { b } $ (Phân số tối giản). Giá trị của $ a+b $ bằng bao nhiêu?

Lời giải Gọi $A$ là biến cố “Người đó bị nhiễm virus” và $B$ là biến cố “Người đó cho kết quả dương tính”. Ta có $P(A) = 0,01$, $P(\overline{A}) = 0,99$. $P(B|A) = 0,9$, $P(B|\overline{A}) = 1 - 0,8 = 0,2$. Áp dụng công thức xác suất toàn phần: $$ P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A}) = 0,01 \cdot 0,9 + 0,99 \cdot 0,2 = 0,009 + 0,198 = 0,207 $$ Áp dụng công thức Bayes: $$ P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(B)} = \frac{0,009}{0,207} = \frac{1}{23} $$ Vậy $a=1, b=23 \Rightarrow a+b = 24$.