Đoàn thanh niên Xóm 3 quyết định làm một số đèn lồng để tặng cho các em thiếu nhi tại địa phương trong dịp trung thu. Nguyên liệu làm đèn lồng cần dùng một số lượng giấy màu. Đoàn có tất cả $ 4 $ cuộn giấy màu đỏ, $ 6 $ cuộn giấy màu xanh, $ 4 $ cuộn giấy màu vàng và mỗi cuộn đều có độ dài $ 40m $. Ngày đầu tiên, Đoàn dùng hết $ 2m $ giấy màu xanh, $ 1m $ giấy màu đỏ và $ 0,5m $ giấy màu vàng. Kể từ ngày thứ hai, mỗi ngày họ đều sử dụng hơn ngày trước đó $ 1m $ giấy mỗi loại màu. Đoàn thanh niên quyết định làm đèn lồng cho đến khi tổng số giấy của cả ba màu còn lại $ 144m $ thì xong. Hỏi Đoàn thanh niên Xóm 3 khi hoàn thành việc làm đèn lồng thì còn bao nhiêu $ m $giấy màu xanh?

+ Số $ m $ giấy màu xanh sử dụng mỗi ngày là một số hạng của cấp số cộng $ \left ( { u_{ n } } \right ) $với số hạng đầu $ u_{ 1 } =2 $ và công sai $ d=1 $. Số hạng tổng quát $ u_{ n } =u_{ 1 } +\left ( { n-1 } \right ).d=2+\left ( { n-1 } \right ).1=n+1 $. + Số $ m $ giấy màu đỏ sử dụng mỗi ngày là một số hạng của cấp số cộng $ \left ( { v_{ n } } \right ) $với số hạng đầu $ v_{ 1 } =1 $ và công sai $ d=1 $. Số hạng tổng quát $ v_{ n } = v_{ 1 } +\left ( { n-1 } \right ).d=1+\left ( { n-1 } \right ).1=n $. + Số $ m $ giấy màu vàng sử dụng mỗi ngày là một số hạng của cấp số cộng $ \left ( { t_{ n } } \right ) $với số hạng đầu $ t_{ 1 } =0,5 $ và công sai $ d=1 $. Số hạng tổng quát $ t_{ n } =t_{ 1 } +\left ( { n-1 } \right ).d=0,5+\left ( { n-1 } \right ).1=n-0,5 $. + Số lượng giấy mà Đoàn thanh niên có là $ 240m $ xanh, $ 160m $ đỏ, $ 160m $ vàng, tổng $ 560m $. + Số lượng giấy dùng làm đèn lồng: Màu xanh: $ S_{ 1 } =\frac { n\left ( { u_{ 1 } +u_{ n } } \right ) } { 2 }=\frac { n\left ( { 2+n+1 } \right ) } { 2 }=\frac { n\left ( { n+3 } \right ) } { 2 } $. Màu đỏ: $ S_{ { \rm{ 2 } } } =\frac { n\left ( { v_{ 1 } +v_{ n } } \right ) } { 2 }=\frac { n\left ( { 1+n } \right ) } { 2 } $. Màu vàng: $ S_{ 3 } =\frac { n\left ( { t_{ 1 } +t_{ n } } \right ) } { 2 }=\frac { n\left ( { 0,5+n-0,5 } \right ) } { 2 }=\frac { n ^ { 2 } } { 2 } $. Suy ra: Tổng giấy dùng làm đèn lồng là: $ S=S_{ 1 } +S_{ 2 } +S_{ 3 } =\frac { n\left ( { n+3 } \right ) } { 2 }+\frac { n\left ( { n+1 } \right ) } { 2 }+\frac { n ^ { 2 } } { 2 }=\frac { n\left ( { 3n+4 } \right ) } { 2 } $. Vì Đoàn thanh niên quyết định làm đèn lồng cho đến khi tổng số giấy của cả ba màu còn lại $ 144m $ thì xong nên: $ S=\frac { n\left ( { 3n+4 } \right ) } { 2 }=560-144⇔3n ^ { 2 } +4n-832=0⇔\left[ n=16 \ n=-\frac { 52 } { 3 } \right. $. Vậy sau $ 16 $ ngày thì tổng số giấy còn lại là $ 144m $. Khi đó, số lượng giấy còn lại mỗi màu: Màu xanh: $ 6.40-\frac { 16\left ( { 16+3 } \right ) } { 2 }=240-152=88m $ ( thỏa mãn). Màu đỏ: $ 4.40-\frac { 16\left ( { 16+1 } \right ) } { 2 }=160-136=24m $ ( thỏa mãn). Màu vàng: $ 4.40-\frac { 16 ^ { 2 } } { 2 }=160-128=32m $ ( thỏa mãn).