Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của của hàm số $ y=3-2\cos2x-\cos ^ { 2 } 2x $ lần lượt là $ M,\,m $. Tính giá trị biểu thức $ 2024M+2025m $.

Tập xác định: $ D=\mathbb{R} $. Ta có: $ y=3-2\cos2x-\cos ^ { 2 } 2x =4-\left ( { \cos2x+1 } \right ) ^ { 2 } $. Lại có $ ∀x\in \mathbb{R} $ thì $ -1\leq \cos2x\leq 1 ⇒0\leq \cos2x+1\leq 2 ⇒0\leq \left ( { \cos2x+1 } \right ) ^ { 2 } \leq 4 $. Do đó $ 0\leq 4-\left ( { \cos2x+1 } \right ) ^ { 2 } \leq 4-0=4⇒0\leq y\leq 4 $. $ y=4 $ khi $ \cos2x=-1⇔2x=\pi +k2\pi ⇔x=\frac { \pi } { 2 }+k\pi ,\,k\in \mathbb{Z} $. Ta được $ M=4 $. $ y=0 $ khi $ \cos2x=1⇔2x=k2\pi ⇔x=k\pi ,\,k\in \mathbb{Z} $. Ta được $ m=0 $. Vậy $ 2024M+2025m=8096 $.