Biết rằng khi giá trị của tham số $ m\in \left[ -\frac { a } { b };c \right] $ (với $ a,b,c\in \mathbb{Z},b>0 $, và $ \frac { a } { b } $ là phân số tối giản) thì hàm số $ y=\frac { 1 } { 3 }x ^ { 3 } -(m-1)x ^ { 2 } -\frac { 1 } { 3 }(2m-7)x+2025 $ đồng biến trên $ \mathbb{R} $. Tính giá trị của biểu thức $ T=a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } $.

Ta có: $ y ^ { ′ } =x ^ { 2 } -2(m-1)x-\frac { 1 } { 3 }(2m-7) $. Hàm số đồng biến trên $ \mathbb{R}⇔y ^ { ′ } \geq 0,∀x\in \mathbb{R} $ $ ⇔x ^ { 2 } -2(m-1)x-\frac { 1 } { 3 }(2m-7)\geq 0,∀x\in \mathbb{R}⇔Δ ^ { ′ } \leq 0 \\ ⇔(m-1) ^ { 2 } +\frac { 1 } { 3 }(2m-7)\leq 0⇔m ^ { 2 } -\frac { 4 } { 3 }m-\frac { 4 } { 3 }\leq 0⇔m\in \left[ -\frac { 2 } { 3 };2 \right]. $ Khi đó: $ a=2;b=3;c=2 $. Vậy $ T=a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } =17 $.