Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ trong đoạn $[-100; 100]$ để hàm số $y = mx^{3} + mx^{2} + (m + 1)x - 3$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$

Lời giải Trường hợp 1: $m = 0$. $$ y = x - 3 \Rightarrow y' = 1 > 0, \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \text{Hàm số luôn đồng biến trên } \mathbb{R}. $$ Do đó loại $m = 0$. Trường hợp 2: $m \neq 0$. Ta có: $$ y' = 3mx^{2} + 2mx + m + 1 $$ $$ \Delta' = m^{2} - 3m(m + 1) = m^{2} - 3m^{2} - 3m = -2m^{2} - 3m $$ Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y' \leq 0, \forall x \in \mathbb{R}$: $$ \begin{cases} a < 0 \\ \Delta' \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m < 0 \\ -2m^{2} - 3m \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m < 0 \\ m(-2m - 3) \leq 0 \end{cases} $$ $$ \Leftrightarrow \begin{cases} m < 0 \\ -2m - 3 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m < 0 \\ m \leq -\frac{3}{2} \end{cases} \Leftrightarrow m \leq -1,5 $$ Vì $m$ là số nguyên thuộc đoạn $[-100; 100]$ nên $m \in \{-100; -99; \dots; -2\}$. Số giá trị nguyên là: $-2 - (-100) + 1 = 99$.