Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{m}{3}x^{3} - 2mx^{2} + (3m + 5)x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Lời giải Ta có $y' = mx^{2} - 4mx + 3m + 5$. Trường hợp 1: $m = 0$. $$ y' = 5 > 0, \forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \text{Hàm số đồng biến trên } \mathbb{R}. $$ Trường hợp 2: $m \neq 0$. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y' \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$: $$ \begin{cases} a > 0 \\ \Delta' \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m > 0 \\ (2m)^{2} - m(3m + 5) \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m > 0 \\ 4m^{2} - 3m^{2} - 5m \leq 0 \end{cases} $$ $$ \Leftrightarrow \begin{cases} m > 0 \\ m^{2} - 5m \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m > 0 \\ 0 \leq m \leq 5 \end{cases} \Leftrightarrow 0 < m \leq 5 $$ Kết hợp hai trường hợp, ta có $0 \leq m \leq 5$. Vì $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$. Vậy có 6 giá trị thoả mãn.