Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $x^2 - 4\sqrt{x^2+1} - (m-1) = 0$ có nghiệm thuộc khoảng $\left(0; \sqrt{15}\right)$?

Phương trình đã cho tương đương với: $x^2 + 1 - 4\sqrt{x^2+1} = m$. Đặt $t = \sqrt{x^2+1}$. Với $x \in \left(0; \sqrt{15}\right)$, ta có: $0 < x^2 < 15 \Leftrightarrow 1 < x^2 + 1 < 16 \Leftrightarrow 1 < \sqrt{x^2+1} < 4$. Do đó, $t \in (1; 4)$. Khi đó, phương trình trở thành: $t^2 - 4t = m$. Xét hàm số $g(t) = t^2 - 4t$ trên khoảng $(1; 4)$. Hàm số $g(t)$ là một parabol có đỉnh tại $t = -\frac{b}{2a} = 2 \in (1; 4)$ và có tọa độ đỉnh là $(2; -4)$. Ta lập bảng biến thiên của $g(t)$ trên khoảng $(1; 4)$ như sau: - Khi $t = 1$ thì $g(1) = -3$. - Khi $t = 2$ thì $g(2) = -4$. - Khi $t = 4$ thì $g(4) = 0$. Từ bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm $t \in (1; 4)$ thì đường thẳng $y = m$ phải cắt đồ thị hàm số $g(t)$ trên khoảng $(1; 4)$, tương ứng với điều kiện: $-4 \le m < 0$. Vì $m$ là số nguyên nên $m \in \{-4; -3; -2; -1\}$. Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.