Một chiếc khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước: chiều dài $ 20 cm $, chiều rộng $ 10 cm $, chiều cao $ 8 cm $ (Hình $ 50a $). Để san bớt nước cho đỡ đầy, người ta đổ nước từ chiếc khay thứ nhất đó sang chiếc khay thứ hai có dạng hình chóp cụt tứ giác đều với đáy khay là hình vuông nhỏ có đường chéo dài $ n( cm) $, miệng khay là hình vuông lớn có đường chéo dài $ 2n( cm) $ (Hình $ 50b) $. Sau khi đổ, mực nước ở khay thứ hai cao bằng $ \frac { 2 } { 3 } $ chiều cao của khay đó và lượng nước trong khay thứ nhất giảm đi $ \frac { 1 } { 4 } $ so với ban đầu. Tính thể tích của chiếc khay thứ hai theo đơn vị centimét khối.

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Thể tích nước có trong khay thứ nhất trước khi đổ bằng $ 20.10.8=1600\left ( { cm ^ { 3 } } \right ){ \rm{ . } }{ \rm{ } } $ Sau khi đổ, thể tích nước có trong khay thứ hai bằng $ 1600\cdot \frac { 1 } { 4 }=400\left ( { cm ^ { 3 } } \right ) $ Gọi chiều cao của khay thứ hai là $ h( cm) $. Giả sử khay thứ hai có dạng hình chóp cụt tứ giác đều $ ABCD.A ^ { ′ } B ^ { ′ } C ^ { ′ } D ^ { ′ } $ (Hinh 87a). Xét hình thang $ ACC ^ { ′ } A ^ { ′ } $, lấy $ MN $ song song với $ AC;H,K $ lần lượt là hình chiếu của $ A ^ { ′ } ,C ^ { ′ } $ trên $ AC;P,Q $ lần lượt là giao điểm của $ A ^ { ′ } H $ và $ MN,C ^ { ′ } K $ và $ MN $ (Hinh 87b). [IMAGE:question_images/12-CD34. ON TAP HHKG QUAN HE VUONG GOC 11/B. TU LUAN/image486.png] Theo giả thiết, mực nước (ngang với $ MN $) trong khay thứ hai cao bằng $ \frac { 2 } { 3 } $ chiều cao của khay đó, suy ra $ \frac { A ^ { ′ } P } { A ^ { ′ } H }=\frac { C ^ { ′ } Q } { C ^ { ′ } K }=\frac { 2 } { 3 }\Rightarrow \frac { MP } { AH }=\frac { NQ } { CK }=\frac { 2 } { 3 }. $ Ta có: $ AH=CK=\frac { n } { 2 },HK=n $, nên $ MN=\frac { 5 } { 3 }n $. Thể tích của nước trong khay thứ hai bằng thể tích khối chóp cụt tứ giác đều với đáy lớn nhận $ MN $ là đường chéo và đáy nhỏ nhận $ A ^ { ′ } C ^ { ′ } $ là đường chéo, chiều cao bằng $ \frac { 2 } { 3 }h $. Vì thể tích nước trong khay thứ hai bằng $ 400 cm ^ { 3 } $ nên ta có $ \frac { 1 } { 3 }\left[ \frac { \left ( { \frac { 5 } { 3 }n } \right ) ^ { 2 } } { 2 }+\sqrt { \frac { \left ( { \frac { 5 } { 3 }n } \right ) ^ { 2 } } { 2 }\cdot \frac { n ^ { 2 } } { 2 } }+\frac { n ^ { 2 } } { 2 } \right]\cdot \frac { 2 } { 3 }h=\frac { 49 } { 81 }n ^ { 2 } h=400\Rightarrow n ^ { 2 } h=\frac { 32400 } { 49 }. $ Thể tích của chiếc khay thứ hai bằng $ V=\frac { h } { 3 }\left[ \frac { (2n) ^ { 2 } } { 2 }+\sqrt { \frac { (2n) ^ { 2 } } { 2 }\cdot \frac { n ^ { 2 } } { 2 } }+\frac { n ^ { 2 } } { 2 } \right]=\frac { 7 } { 6 }n ^ { 2 } h=\frac { 7 } { 6 }\cdot \frac { 32400 } { 49 }=\frac { 5400 } { 7 }\left ( { cm ^ { 3 } } \right ) $

Bài tự luận Ôn tập Hình học không gian – Quan hệ vuông góc 11 · Bài 17