(CD11) Người ta xây dựng một chân tháp bằng bê tông có dạng khối chóp cụt tứ giác đều. Cạnh đáy dưới dài $5$ m, cạnh đáy trên dài $2$ m, cạnh bên dài $3$ m. Biết rằng chân tháp được làm bằng bê tông tươi với giá tiền là 1470000 đồng/m$^3$. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp theo đơn vị đồng (làm tròn kết quả đến hàng nghìn).
Xem lời giải
Lời giải
Giả sử chân tháp là khối chóp cụt tứ giác đều $ABCD.MNPQ$ với $ABCD$ là hình vuông cạnh $5$ m, $MNPQ$ là hình vuông cạnh $2$ m, $AM=BN=CP=DQ=3$ m.
Vì $DQ,NB$ cắt nhau nên $D,Q,N,B$ đồng phẳng. Mà $(ABCD)\parallel(MNPQ)$ nên $NQ\parallel BD$.
Gọi $I$ là giao điểm của $MP$ và $NQ$, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Khi đó $IO\perp(MNPQ)$, $IO\perp(ABCD)$.
Xét hình thang $QNBD$, gọi $H$ là hình chiếu của $Q$ trên $BD$, $K$ là hình chiếu của $N$ trên $BD$. Vì $IO\perp BD$, $QH\perp BD$, $NK\perp BD$ trong $(QNBD)$ nên $IO\parallel QH\parallel NK$.
Suy ra $QH\perp(MNPQ)$, $QH\perp(ABCD)$ nên $QH$ bằng chiều cao của khối chóp cụt đều.
Ngoài ra, ta có $QH=NK=IO$ và $QD=NB$. Suy ra $\Delta QHD=\Delta NKB$ nên ta có $HD=BK$.
Bên cạnh đó, $QNKH$ là hình chữ nhật nên $QN=HK$. Từ đó ta có:
$\begin{aligned} HD&=\frac{BD-HK}{2}=\frac{\sqrt{AD^2+AB^2}-\sqrt{MN^2+MQ^2}}{2}\\&=\frac{\sqrt{5^2+5^2}-\sqrt{2^2+2^2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\text{ (m)}. \end{aligned}$
Xét tam giác $QHD$ vuông tại $H$ có:
$QH=\sqrt{QD^2-HD^2}=\sqrt{3^2-\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\text{ (m)}$.
Diện tích của hai đáy là: $S_{ABCD}=AB^2=5^2=25$ m$^2$,
$S_{MNPQ}=MN^2=2^2=4$ m$^2$.
Suy ra thể tích của khối chóp cụt đều là:
$\begin{aligned} V&=\frac{1}{3}QH\left(S_{ABCD}+\sqrt{S_{ABCD}\cdot S_{MNPQ}}+S_{MNPQ}\right)\\&=\frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2}(25+\sqrt{25\cdot4}+4)=\frac{39\sqrt{2}}{2}\text{ (m}^3\text{)}. \end{aligned}$
Số tiền để mua bê tông tươi làm chân tháp là: $1470000\cdot\frac{39\sqrt{2}}{2}\approx40538000$ (đồng).
