Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AC$, $BC$. Trên đoạn $BD$ lấy điểm $K$ sao cho $BK = 2KD$. Gọi $I$ là giao điểm của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $(MNK)$. Gọi $E$ là giao điểm của $AD$ và $ME$. Biết tỷ số $\frac{AE}{AD} = \frac{a}{b}$. Khi đó $b - a$ là

Lời giải Trong mặt phẳng $(BCD)$, kéo dài $NK$ cắt $CD$ tại $I$. Khi đó $I$ là giao điểm của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $(MNK)$. Trong mặt phẳng $(ACD)$, gọi $E$ là giao điểm của $AD$ và $ME$. Khi đó mặt phẳng $(MNK)$ chính là mặt phẳng $(MNKE)$. Ta có: $$ \begin{cases} (MNKE) \cap (ABD) = KE \\ (MNKE) \cap (ABC) = MN \\ (ABC) \cap (ABD) = AB \end{cases} $$ Do $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AC$, $BC$ nên $MN \parallel AB$, suy ra $KE \parallel AB$. Xét trong tam giác $ABD$ có $KE \parallel AB$ và $BK = 2KD$, suy ra: $$ \frac{KD}{BD} = \frac{ED}{AD} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{AE}{AD} = \frac{2}{3} $$ Vậy $b - a = 3 - 2 = 1$.