Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thang$ \left ( { AD{ \rm{ // } }BC } \right ) $. Gọi $ M $ là một điểm di động bên trong hình thang $ ABCD $. Qua $ M $ vẽ các đường thẳng song song với $ SA,{ \rm{ } }SB $ và lần lượt cắt các mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ) $ và $ \left ( { SAD } \right ) $ theo thứ tự tại $ N $và $ P $. Tính $ \frac { MN } { SA }+\frac { MP } { SB } $

Gọi $ I=AM∩BC $ $ ⇒\left ( { SAM } \right )∩\left ( { SBC } \right )=SI $. Kẻ $ Mx{ \rm{ // } }SA,{ \rm{ } }Mx∩SI=N⇒N=Mx∩\left ( { SBC } \right ) $. Trong $ ΔSAI $, có $ MN{ \rm{ // } }SA $ suy ra $ \frac { MN } { SA }=\frac { IM } { IA } $(1) Gọi $ E=BM∩AD $ $ ⇒\left ( { SBM } \right )∩\left ( { SAD } \right )=SE $. Kẻ $ My{ \rm{ // } }SB,{ \rm{ } }My∩SE=P⇒P=My∩\left ( { SAD } \right ) $. Trong $ ΔSBE $, có $ MP{ \rm{ // } }SB $ suy ra $ \frac { MP } { SB }=\frac { EM } { EB } $(2) Do$ ABCD $ là hình thang nên ta có: $ \frac { IM } { MA }=\frac { BI } { AE }⇒\frac { IM } { MA+IM }=\frac { BI } { AE+BI }⇒\frac { IM } { IA }=\frac { BI } { AE+BI } $(3) $ \frac { EM } { MB }=\frac { EA } { BI }⇒\frac { EM } { MB+EM }=\frac { EA } { BI+AE }⇒\frac { EM } { EB }=\frac { EA } { BI+EA } $(4) Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: $ \frac { MN } { SA }+\frac { MP } { SB }=\frac { IM } { IA }+\frac { EM } { EB }=\frac { BI } { AE+BI }+\frac { EA } { BI+AE }=\frac { BI+EA } { BI+EA }=1 $