Cho tứ diện $ ABCD $ trong đó có tam giác $ BCD $ không cân. Gọi $ M,\,N $lần lượt là trung điểm của $ AB;\,CD $ và $ G $ là trung điểm của đoạn $ MN $. Gọi $ A_{ 1 } $ là giao điểm của $ AG $ và $ \left ( { BCD } \right ) $. Khi đó tỷ số $ 3\frac { BA_{ 1 } } { BN } $ là

+ Mặt phẳng$ \left ( { ABN } \right ) $ cắt mặt phẳng $ \left ( { BCD } \right ) $ theo giao tuyến $ BN $. Mà $ AG⊂\left ( { ABN } \right ) $ suy ra $ AG $ cắt $ BN $tại điểm $ A_{ 1 } $ + Qua $ M $dựng $ MP{ \rm{ //AA } }_{ 1 } $với $ P∈BN $. Có $ M $là trung điểm của $ AB $ suy ra $ P $ là trung điểm $ BA_{ 1 } $ nên $ BP=PA_{ 1 } $ (1) + Tam giác $ \left ( { MNP } \right ) $ có: $ MP{ \rm{ //AA } }_{ 1 } $và $ G $ là trung điểm của $ MN $. ⇒ $ A_{ 1 } $ là trung điểm của $ NP $ nên $ PA_{ 1 } =NA_{ 1 } $ (2) + Từ (1) và (2) suy ra:$ BP=A_{ 1 } P=NA_{ 1 } $ suy ra $ \frac { BA_{ 1 } } { BN }=\frac { 2 } { 3 } $. Vậy $ 3.\frac { BA_{ 1 } } { BN }=3.\frac { 2 } { 3 }=2 $.