Cho biết $ F\left ( { x } \right ) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f\left ( { x } \right )=\sqrt[] { 2 }sinx.\cos\left ( { x+\frac { \pi } { 4 } } \right ) $ và thỏa mãn $ F\left ( { 0 } \right )=0 $. Tính giá trị $ F\left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right ) $ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Ta có $ f\left ( { x } \right )=\sqrt[] { 2 }sinx.\cos\left ( { x+\frac { \pi } { 4 } } \right ) =\sqrt[] { 2 }.\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }sinx.\left ( { cosx-sinx } \right ) =sinx.cosx-\sin ^ { 2 } x $. Suy ra $ f\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { 2 }\sin2x-\frac { 1-\cos2x } { 2 } =\frac { 1 } { 2 }\sin2x+\frac { 1 } { 2 }\cos2x-\frac { 1 } { 2 } $. Khi đó $ F\left ( { x } \right )=\int f\left ( { x } \right )dx=\int \left ( { \frac { 1 } { 2 }\sin2x+\frac { 1 } { 2 }\cos2x-\frac { 1 } { 2 } } \right )dx $ $ =-\frac { \cos2x } { 4 }-\frac { 1 } { 2 }x+\frac { 1 } { 4 }\sin2x+C $, $ \left ( { C\in \mathbb{R} } \right ) $. Do $ F\left ( { 0 } \right )=0 $ nên có $ -\frac { \cos0 } { 4 }-\frac { 1 } { 2 }.0+\frac { 1 } { 4 }\sin0+C=0⇔-\frac { 1 } { 4 }+C=0⇔C=\frac { 1 } { 4 } $. Khi đó ta được $ F\left ( { x } \right )=-\frac { \cos2x } { 4 }-\frac { 1 } { 2 }x+\frac { 1 } { 4 }\sin2x+\frac { 1 } { 4 } $. Vậy có $ F\left ( { \frac { \pi } { 2 } } \right )=-\frac { \cos\pi } { 4 }-\frac { 1 } { 2 }.\frac { \pi } { 2 }+\frac { 1 } { 4 }\sin\pi +\frac { 1 } { 4 } =\frac { 1 } { 4 }-\frac { \pi } { 4 }+\frac { 1 } { 4 }=\frac { 2-\pi } { 4 }=-0,28539....\simeq -0,3 $.