(Chuyên KHTN Hà Nội 2025) Trong không gian với hệ tọa độ $ Oxyz $, cho đường thẳng $ d:\frac { x-1 } { 2 }=\frac { y+1 } { -1 }=\frac { z-2 } { 1 } $ và mặt phẳng $ \left ( { P } \right ):-x+2y+z-3=0 $.

a) sai. Thay tọa độ điểm $ A\left ( { 1;-1;-2 } \right ) $ vào phương trình đường thẳng $ d:\frac { x-1 } { 2 }=\frac { y+1 } { -1 }=\frac { z-2 } { 1 } $ ta có $ \frac { 1-1 } { 2 }=\frac { -1+1 } { -1 }\neq \frac { -2-2 } { 1 } $. Vậy điểm $ A\left ( { 1;-1;-2 } \right ) $ không nằm trên đường thẳng $ d $. b) Đúng. Vì mặt phẳng $ \left ( { Q } \right ) $ song song với đường thẳng $ d $ và vuông góc với mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $ nên $ \left \{ \begin{array}{l} \overset\rightarrow { n }_{ \left ( { Q } \right ) } ⊥\overset\rightarrow { n }_{ \left ( { P } \right ) } \\ \overset\rightarrow { n }_{ \left ( { Q } \right ) } ⊥\overset\rightarrow { u }_{ d } \end{array} \right.⇒\overset\rightarrow { n }_{ \left ( { Q } \right ) } =\left[ \overset\rightarrow { n }_{ \left ( { P } \right ) } ,\overset\rightarrow { u }_{ d } \right]=\left ( { -3;-3;3 } \right )=-3\left ( { 1;1;-1 } \right ) $. c) Đúng. Gọi $ \alpha $ là góc giữa đường thẳng $ d $và mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $. Ta có $ \sin\alpha =\frac { \left | { \overset\rightarrow { n }_{ \left ( { P } \right ) } .\overset\rightarrow { u }_{ d } } \right | } { \left | { \overset\rightarrow { n }_{ \left ( { P } \right ) } } \right |.\left | { \overset\rightarrow { u }_{ d } } \right | }=\frac { 1 } { 2 }⇒\alpha =30° $. d) sai. Đường thẳng $ Δ $ đi qua điểm $ M\left ( { -3;1;2 } \right ) $, song song với mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $, $ Δ∩d=N\left ( { 1+2t;-1-t;2+t } \right ) $. $ \overset\rightarrow { MN }=\left ( { 4+2t;-2-t;t } \right ) $. Vì $ Δ $ song song với $ \left ( { P } \right ) $ nên $ \overset\rightarrow { MN }⊥\overset\rightarrow { n_{ \left ( { P } \right ) } }⇒\left ( { 4+2t } \right )\left ( { -1 } \right )+\left ( { -2-t } \right ).2+t=0 $$ ⇔-3t=8⇔t=-\frac { 8 } { 3 } $ Vậy điểm $ N\left ( { -\frac { 13 } { 3 };\frac { 5 } { 3 };-\frac { 2 } { 3 } } \right )⇒-\frac { 13 } { 3 }+\frac { 5 } { 3 }-\frac { 2 } { 3 }=\frac { -10 } { 3 } $.