Cho hai hình bình hành $ ABCD $ và $ ABEF $ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên cạnh $ AC $ lấy điểm $ M $ và trên cạnh $ BF $ lấy điểm $ N $ sao cho $ \frac { AM } { AC }=\frac { BN } { BF }=k $. Tìm $ k $ để $ MN{ \rm{ // } }\,DE $. Khi đó $ 3k $ bằng

Ta có: $ MN{ \rm{ // } }\,DE $ nên bốn điểm $ M,\,N,\,D,\,E $đồng phẳng. Trong mặt phẳng$ \left ( { MNED } \right ) $, gọi $ I=DM∩NE⇒I∈AB;\,AB=\left ( { ABCD } \right )∩\left ( { ABEF } \right ) $. khi đó: $ \frac { IM } { DM }=\frac { IN } { NE } $. Mà $ \frac { IM } { DM }=\frac { AM } { MC }=\frac { AI } { DC }=\frac { AI } { EF };\,\frac { IN } { NE }=\frac { BN } { NF }=\frac { BI } { EF } $. Theo giả thiết, ta có:$ \frac { AM } { AC }=k\,\,\left ( { 1 } \right )⇒\frac { AC-MC } { AC }=k⇒1-\frac { MC } { AC }=k⇒\frac { MC } { AC }=1-k\,\,\left ( { 2 } \right )$ Từ (1) và (2) suy ra $ \frac { AM } { MC }=\frac { k } { 1-k } $; tương tự ta chứng minh được $ \frac { BN } { FN }=\frac { k } { 1-k } $. Mặt khác $ \frac { AM } { MC }+\frac { BN } { FN }=\frac { AI } { DC }+\frac { BI } { EF }=\frac { AI } { FE }+\frac { BI } { EF }=\frac { AB } { EF }=1⇒2.\frac { k } { 1-k }=1⇔k=\frac { 1 } { 3 } $. Vậy với $ k=\frac { 1 } { 3 } $ thì $ MN{ \rm{ // } }\,DE $. Suy ra $ 3k=3.\frac { 1 } { 3 }=1 $