Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba điểm $A(1; 2)$, $B(3; -1)$, $C(2; 0)$.

a) Đúng. Vì $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ nên $\left\{\begin{array}{l}x_I = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2\\\\ y_I = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{2 + (-1)}{2} = \frac{1}{2}\end{array}\right.$. Vậy $I\left(2; \frac{1}{2}\right)$. b) Sai. Ta có: $\overrightarrow{AB} = (2; -3)$, $\overrightarrow{AC} = (1; -2)$. Vì $\frac{2}{1} \neq \frac{-3}{-2}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương. Suy ra các điểm $A, B, C$ không thẳng hàng. c) Sai. Các điểm $A, B, C$ không thẳng hàng. Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Ta có $\overrightarrow{AB} = (2; -3)$; $\overrightarrow{DC} = (2 - x; -y)$. Suy ra $\left\{\begin{array}{l}2 = 2 - x\\\\ -3 = -y\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x = 0\\\\ y = 3\end{array}\right. \Rightarrow 2y - 1 = 2 \cdot 3 - 1 = 5$. d) Đúng. Vì $M$ thuộc tia $Oy$ nên $M(0; b)$ với $b > 0$. Ta có: $BA = \sqrt{13}$, mà đường tròn tâm $B$ đi qua $A$ nên $BM = BA = \sqrt{13}$. Suy ra $(3 - 0)^2 + (-1 - b)^2 = 13 \Leftrightarrow (b + 1)^2 = 4 \Leftrightarrow b = 1$ hoặc $b = -3$. Vì $b > 0$ nên $b = 1$, suy ra $M(0; 1)$. Vậy $a + b + 1 = 0 + 1 + 1 = 2$.